• 행렬 곱 (R: A %*% B)
  • (m x n) * (n x p) = (m x p)
  • \((\mathbf{A}\mathbf{B})_{ij} = \sum_k A_{ik} B_{kj}\)

\[ \underbrace{\begin{pmatrix} \bbox[#d5ecd4,3pt]{1} & \bbox[#d5ecd4,3pt]{0} \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{3 \times 2} \underbrace{\begin{pmatrix} \bbox[#e4dcf4,3pt]{1} & 1 & 0 \\ \bbox[#e4dcf4,3pt]{0} & 1 & 1 \end{pmatrix}}_{2 \times 3} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}}_{3 \times 3} \]

• 전치 행렬 (transpose) (R: t(M))
  • 행과 열의 위치를 바꾸는 것
  • \((\mathbf{M}')_{ij} = M_{ji}\)

\[ \mathbf{M} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \;\Rightarrow\; \mathbf{M}' = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]

이분 네트워크: 행위자 5개 도시 x 아티팩트 4개 기업

• 이분 행렬 \(\mathbf{B}\): 5 × 4
  • 행 = 행위자(도시), 열 = 아티팩트(기업)
  • \(B_{ik} = 1\): 행위자 \(i\)가 아티팩트 \(k\)에 연결
• 행합 = 행위자가 연결된 아티팩트 수
  • e.g. 런던에는 4개의 기업 위치
• 열합 = 아티팩트에 연결된 행위자 수
  • e.g. KPMG와 Barclays는 3개 도시에 위치

이분 네트워크 예시로

이분 투영 \(\mathbf{P} = \mathbf{B}\mathbf{B}'\): 두 행위자가 공유하는 아티팩트

• \(\mathbf{P}\): (5 × 4)(4 × 5) = 5 × 5
• \(P_{3,5}\): \(\mathbf{B}\)의 3행 · \(\mathbf{B}'\)의 5열 (\(\Leftrightarrow\) \(\mathbf{B}\)의 5행) \[ \begin{pmatrix} \bbox[#d5ecd4,3pt]{1} & \bbox[#d5ecd4,3pt]{1} & \bbox[#d5ecd4,3pt]{1} & \bbox[#d5ecd4,3pt]{1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bbox[#e4dcf4,3pt]{0} \\ \bbox[#e4dcf4,3pt]{0} \\ \bbox[#e4dcf4,3pt]{1} \\ \bbox[#e4dcf4,3pt]{1} \end{pmatrix} = 0 + 0 + 1 + 1 = \bbox[#ffe680,3pt]{2} \]
• 런던과 시드니는 2개의 기업 공유 → 엣지 가중치 2
• 대각원소 \(P_{ii}\) = 행합 (e.g. \(P_{CC} = 4\))

• HM: 행합만 고정
  • 가능한 행렬 4×4×1×4×6 = 384개
• FDSM: 행합과 열합을 모두 정확히 고정
  • 가능한 행렬은 12개
• SDSM: 행합과 열합이 평균적으로 맞도록
  • 5×4 이진행렬 2²⁰ = 1,048,576개 전부 후보
  • 합이 정확히 맞지 않는 행렬도 포함

Fig. 1의 \(\mathbf{B}\)와 \(\mathbf{P} = \mathbf{B}\mathbf{B}'\) (관측값 \(P_{AB} = 1\))

행합만 고정

A와 B가 4개 중 1개를 독립적으로 고름

공유 수 \(X \sim \text{H}(N = 4,\ K = r_A,\ n = r_B)\)

\[ E[X] = \frac{r_A \, r_B}{N} = \frac{1 \times 1}{4} = 0.25 \]

\[ p = P(X \ge 1) = 1 - \frac{\binom{3}{1}}{\binom{4}{1}} = \frac{1}{4} = 0.25 \]

Fig. 1의 \(\mathbf{B}\)와 \(\mathbf{P} = \mathbf{B}\mathbf{B}'\) (관측값 \(P_{AB} = 1\))

행합과 열합을 모두 고정

C는 행합 4 -> 모든 기업에 고정됨
남은 열합 (3, 1, 3, 2) − 1 = (2, 0, 2, 1)

\[ E[X] = p = P(X \ge 1) = \frac{2}{12} \approx .17 \]

같은 관측값도 귀무모형에 따라 유의성이 달라짐

• 검은 점선: 관측값 (암스테르담–뉴욕 26개 기업 공유)
• 뼈대 추출: 관측값이 위쪽 기각역에 들면 엣지로 남김
• 의미: “두 도시가 의미 있는 경제적 상호작용을 한다고 결론 내릴 만큼” 공유 기업이 많은 쌍만 이은 네트워크
• 중심지: “경제적 상호작용 네트워크”에서 중심인 도시
• 결과 지도: backbone_map